Question

（2012•葫蘆島模擬）F（-c，0）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，P是拋物線y²=4cx上一點(diǎn)，直線FP與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)E，且PE=FE，若雙曲線的焦距為2

5

+2，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（　�。�

• A．4
• B．2
• C．

  20+4 5

  5

• D．

  10+2 5

  5

Answer 1

分析：確定∠FPF₂=90°，根據(jù)△FEO∽△FPF₂，可得PF₂=2a，過(guò)F作x軸的垂線l，過(guò)P作PQ⊥l于Q，則PQ=PF₂=2a，利用Rt△FPQ∽R(shí)t△F₂FQ，在Rt△FEO中，利用勾股定理，雙曲線的焦距為2

5

+2，建立方程，從而可求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．

解答：解：拋物線y²=4cx的焦點(diǎn)F₂（c，0）
∵E為直線FP與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓的切點(diǎn)，PE=EF
∴OE為直線FP的中垂線 （O為原點(diǎn)）
∴OP=OF=c
又FF₂=2c，O為FF₂中點(diǎn)，OP=c
∴∠FPF₂=90°（直角三角形中，直角頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)度為斜邊的一半）
根據(jù)△FEO∽△FPF₂，可得

PF2

EO

=

FF2

FO

=

2c

c

=2
∵EO=a，∴PF₂=2a
過(guò)F作x軸的垂線l，過(guò)P作PQ⊥l于Q，則PQ=PF₂=2a 
又Rt△FPQ∽R(shí)t△F₂FQ，令PF=2x=2EF，∴

QP

PF

=

PF

FF2

，即

2a

2x

=

2x

2c

，即x²=ac=EF²
∴在Rt△FEO中，OF²=EF²+EO²，即c²=ac+a²
∵雙曲線的焦距為2

5

+2，
∴a²+（1+

5

）a-（1+

5

）²=0
∴a=

-(1+ 5 )±( 5 +5)

2

∴a₁=2，a₂=-

5

-3 （舍）
∴實(shí)軸長(zhǎng)為4
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．