Question

若f（x）＞0對任意的x∈R，函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若f（x）＞0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）證明：ln(1+

2

2×3

)+ln(1+

4

3×5

)+ln(1+

8

5×9

)+…+ln[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜1(n∈N*)．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，a-alna-1≥0對a＞0恒成立，即可求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）證明ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），即可證明結(jié)論．

解答： （I）解：當a＞0時，f'（x）=e^x-a，
由e^x-a＞0，得單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞）；
由e^x-a＜0，得單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna），…（2分）
由上可知f（x）_min=f（lna）=a-alna-1…（4分）
（II）解：若f（x）≥0對?x∈R恒成立，即f（x）_min≥0，
由（I）知問題可轉(zhuǎn)化為a-alna-1≥0對a＞0恒成立．       　…（6分）
令g（a）=a-alna-1（a＞0），g'（a）=-lna，
∴g（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）_max=g（1）=0．
即a-alna-1≤0，∴a-alna-1=0．                   …（8分）
由g（a）圖象與x軸有唯一公共點，知所求a的值為1．…（9分）
（III）證明：由（II）知e^x-x-1≥0，則ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立．
又

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），…（11分）
∴ln(1+

2

2×3

)+ln(1+

4

3×5

)+ln(1+

8

5×9

)+…+ln(1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

)≤

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

…（12分）
=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．