Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且a₁=1，a₂=4，a_n=

an-1an+1+1

，n≥2，n∈N^*．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）求證：對(duì)一切正整數(shù)n，2a_na_n+1+1是完全平方數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接利用已知條件求解a₃，a₄的值；
（2）通過已知條件猜想2anan+1+1=(an+1-an)2，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明對(duì)一切正整數(shù)n，2a_na_n+1+1是完全平方數(shù)．

解答： 解：（1）由a2=

a1a3+1

得，a₃=15，
由a3=

a2a4+1

得，a₄=56．                  …（2分）
（2）2a1a2+1=9=(a2-a1)2，2a2a3+1=121=(a3-a2)2，2a3a4+1=1681=(a4-a3)2，
猜想：2anan+1+1=(an+1-an)2．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．   …（5分）
證明：①當(dāng)n=1，2時(shí)，已證；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)，2akak+1+1=(ak+1-ak)2成立，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，由ak+1=

akak+2+1

知，ak+12-1=akak+2，即ak+2=

ak+12-1

ak

，
又由2akak+1+1=(ak+1-ak)2知，ak+12-1=4akak+1-ak2，
所以ak+2=

4akak+1-ak2

ak

=4ak+1-ak，
所以ak+22=4ak+1ak+2-akak+2=4ak+1ak+2-ak+12+1，
所以(ak+2-ak+1)2=2ak+1ak+2+1，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
綜上可得，對(duì)一切正整數(shù)n，2a_na_n+1+1是完全平方數(shù)．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．