Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解．
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
且S_n=n（n+1）（n∈N^*），
∴a₁=S₁=1×（1+1）=2，
a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n
=（n²+n）-（n²-n）
=2n．
（Ⅱ）∵a_n=2n，∴b_n=

1

an•an+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4n+4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．