已知橢圓過點，橢圓左右焦點分別為，上頂點為，為等邊三角形.定義橢圓C上的點的“伴隨點”為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求的最大值；

（3）直線l交橢圓C于A、B兩點,若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.橢圓C的右頂點為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關系,并證明.

 

【答案】

（1）（2）（3）的面積是定值

【解析】

試題分析：解：（1）由已知，解得 ,方程為.4分

（2）當時，顯然，由橢圓對稱性，只研究即可，

設（），于是            5分

（當且僅當時取等號） 8分

（3） 設,則;

1)當直線的斜率存在時,設方程為,

由 得: ；

有  ①          10分

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O可得: ；

整理得:   ②

將①式代入②式得: ,              12分

 

又點到直線的距離

===

所以                   14分

2) 當直線的斜率不存在時,設方程為

聯(lián)立橢圓方程得: ；

代入得；

,    

綜上: 的面積是定值 

又的面積也為,所以二者相等.                  16分

考點：橢圓的方程與性質(zhì)

點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C的左準線與x軸的交點，過點P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．
（Ⅰ）若橢圓的焦距為2
3
，且兩條準線間的距離為
8
3
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）在（I）的條件下，橢圓上有一點M，滿足MF1⊥MF2，求△MF1F2的面積；
（Ⅲ）過焦點F2作橢圓長軸的垂線與橢圓交于第一象限點P，連接PO并延長交橢圓于點Q，連接QF2并延長交橢圓于點H，若PH⊥PQ，求橢圓的離心率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰安二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
 =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，點P（x1，y1）是橢圓上任意一點，且|PF1|+|PF2|=4，橢圓的離心率e=
1
2

（I）求橢圓E的標準方程；
（II）直線PF1交橢圓E于另一點Q（x1，y2），橢圓右頂點為A，若
AP
•
AQ
=3，求直線PF1的方程；
（III）過點M（
1
4
x1，0）作直線PF1的垂線，垂足為N，當x1變化時，線段PN的長度是否為定值？若是，請寫出這個定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•武昌區(qū)模擬）如圖，已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點為F，過F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點，右準線l交x軸于點K，左頂點為A．
（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）直線AM、AN分別交準線l于點P、Q，設直線MN的傾斜角為θ，試用θ表示線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：山東省濟鋼高中2012屆高三5月高考沖刺數(shù)學理科試題 題型：044

已知橢圓C1∶＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，直線l：y＝x＋2與以原點為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓O相切．

(Ⅰ)求橢圓C1的方程；

(Ⅱ)設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于l1，垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；

(Ⅲ)設C2與x軸交于點Q，不同的兩點R、S在C2上，且滿足·＝0，求||的取值范圍．

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