Question

已知二次函數(shù) f（x）=ax²+bx+c（x∈R），滿足f(0)=f(

1

2

)=0且f（x）的最小值是-

1

8

．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切（n∈N^*），點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）通過b_n=

sn

n+c

構(gòu)造一個新的數(shù)列{b_n}，是否存在非零常數(shù)c，使得{b_n}為等差數(shù)列；
（3）令c_n=

sn+n

n

，設(shè)數(shù)列{c_n•2c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1））由于f(0)=f(

1

2

)=0，及f(x)的最小值是-

1

8

，利用二次函數(shù)圖象的對稱性可設(shè)f(x)=a(x-

1

4

)2-

1

8

．又f（0）=0，代入即可解得a，可得f（x），由于點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上，可得S_n關(guān)于n的二次函數(shù)．當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n．
（2）由于bn=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

，只要取得的c的值使得b_n為關(guān)于n的一次函數(shù)即可．
（3）把S_n代入即可得到C_n，利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）∵f(0)=f(

1

2

)=0，∴f（x）的對稱軸為x=

0+ 1 2

2

 =

1

4

，
又∵f(x)的最小值是-

1

8

，∴二次函數(shù)圖象的對稱性可設(shè)f(x)=a(x-

1

4

)2-

1

8

．
又f（0）=0，∴0=

1

16

a-

1

8

，解得a=2，
∴f(x)=2(x-

1

4

)2-

1

8

=2x2-x．
∵點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上，∴Sn=2n2-n．
當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3．
當n=1時，上式也成立．
∴an=4n-3(n∈N*)．
（2）∵bn=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

，
令c=-

1

2

(c≠0)，即得b_n=2n，此時數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，∴存在非零常數(shù)C=-

1

2

，使得{b_n}為等差數(shù)列．
（3）Cn=

Sn+n

n

=

2n2-n+n

n

=2n，則Cn?2Cn=2n×22n=n×22n+1，
∴Tn=1×23+2×25+…+(n-1)•22n-1+n•2²ⁿ⁺¹，
4Tn=1×25+2×27+…+(n-1)22n+1+n×22n+3，
兩式相減得：-3

T

n

=23+25+…+22n+1-n×22n+3=

23(1-4n)

1-4

-n?22n+3，
∴Tn=

23(1-4n)

9

+

n?22n+3

3

=

(3n-1)22n+3+8

9

．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)列的通項公式a_n與S_n之間的關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”即等比數(shù)列的前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．