Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（1，$-\frac{2}{3}$）處的切線與x軸平行．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=-f（x），利用函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（1，$-\frac{2}{3}$）處的切線與x軸平行，求a、b、c、d的值．
（2）用反證法證明．對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x軸上存在滿足條件的點(diǎn)C（x₀，0），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出不等關(guān)系，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1時(shí)，f'（1）=3a+c=0，f（1）=a+c=-$\frac{2}{3}$，
解得a=$\frac{1}{3}$，c=-1，
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使得結(jié)論成立．
（2）假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則由f′（x）=x²-1知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為
k₁=x₁²-1，k₂=x₂²-1，且（x₁²-1）（x₂²-1）=-1             （*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴x₁²-1≤0，x₂²-1≤0
∴（x₁²-1）（x₂²-1）≥0 此與（*）矛盾，故假設(shè)不成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)奇偶性對(duì)應(yīng)的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值以及偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值，考查反證法的使用，考查兩數(shù)之間最值之差最大，為中檔題．