Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)．若對任意的n∈N₊，存在k∈N₊，使得=a_n•a_n+2k成立，則稱數(shù)列為“J_k型”數(shù)列．
（1）若數(shù)列{a_n}是“J₂”型數(shù)列，且a₂=8，a₈=1，求a_2n；
（2）若數(shù)列{a_n}既是“J₃”型數(shù)列，又是“J₄”型數(shù)列，證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

解：（1）∵數(shù)列{a_n}是“J₂”型數(shù)列，
∴=a_n•a_n+4
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列
設(shè)偶數(shù)項組成的等比數(shù)列的公比為q，
∵a₂=8，a₈=1，∴，∴q=
∴a_2n=8×=2^4-n；
（2）由題設(shè)知，當(dāng)n≥8時，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比數(shù)列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比數(shù)列．
從而當(dāng)n≥8時，a_n²=a_n-3a_n+3=a_n-6a_n+6，（*）且a_n-6a_n+6=a_n-2a_n+2．
所以當(dāng)n≥8時，a_n²=a_n-2a_n+2，即
于是當(dāng)n≥9時，a_n-3，a_n-1，a_n+1，a_n+3成等比數(shù)列，從而a_n-3a_n+3=a_n-1a_n+1，故由（*）式知a_n²=a_n-1a_n+1，
即．
當(dāng)n≥9時，設(shè)，當(dāng)2≤m≤9時，m+6≥8，從而由（*）式知a_m+6²=a_ma_m+12，
故a_m+7²=a_m+1a_m+13，從而，
于是．
因此對任意n≥2都成立．
因為，所以，
于是．
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
分析：（1）利用數(shù)列{a_n}是“J₂”型數(shù)列，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列，根據(jù)a₂=8，a₈=1，求出數(shù)列的公比，即可得到通項；
（2）由題設(shè)知，當(dāng)n≥8時，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比數(shù)列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得，對任意n≥2都成立，由此可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
點評：本題考查新定義，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．