Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+1）-1，則f（x）（ ）
A．沒(méi)有零點(diǎn)
B．有唯一零點(diǎn)
C．有兩個(gè)零點(diǎn)x₁、x₂，且-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2
D．有兩個(gè)零點(diǎn)x₁、x₂，且1＜x₁+x₂＜3

Answer 1

【答案】分析：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理即零點(diǎn)的存在條件，對(duì)一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的存在性常用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值及各個(gè)區(qū)間的上的單調(diào)性借助圖形來(lái)確定函數(shù)零點(diǎn)的位置及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，故解決本題要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論其極值到到的位置、正負(fù)以及各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，由圖象變化規(guī)律結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定正確選項(xiàng)．
解答：解：由題設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）；
又f'（x）=1-，令1-=0得，x=0
當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）=1-＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=1-＞0，
故函數(shù)f（x）=x-ln（x+1）-1在（-1，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)
又f（0）=-1＜0，即一個(gè)零點(diǎn)在（-1，0）上；
f（1）=-ln2＜0，f（2）=1-ln2＜0，f（3）=2-ln4＞0，另一個(gè)零點(diǎn)在（2，3）上；
則1＜x₁+x₂＜3
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其原理是零點(diǎn)存在的條件，本題是函數(shù)零點(diǎn)考查題型中較常見(jiàn)的題型，做題后要好好總結(jié)本題做題的規(guī)律，且能在同類(lèi)題中進(jìn)行推廣．