Question

已知α，β∈R，直線

x

sinα+sinβ

+

y

sinα+cosβ

=1與

x

cosα+sinβ

+

y

cosα+cosβ

=1
的交點(diǎn)在直線y=-x上，則sinα+cosα+sinβ+cosβ=

 

．

Answer 1

分析：先由已知可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為（x₀，-x₀），構(gòu)造方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1，且sinα，cosα為方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1的兩個(gè)根，即為方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的兩個(gè)根．從而得出sinα+cosα+sinβ+cosβ的值．

解答：解：由已知可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為（x₀，-x₀），
且sinα，cosα為方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1，的兩個(gè)根，
即為方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的兩個(gè)根．
因此sinα+cosα=-（sinβ+cosβ），
即sinα+cosα+sinβ+cosβ=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的截距式方程、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．