Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，直線l過點A，l與直線BC₁和CD₁都成75°，這樣的直線共有（　�。�條．

Answer 1

分析：先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點D₁，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用特殊三角板求出此角即得直線BC₁和CD₁所成的角的大�。�再將異面直線BC₁和CD₁平移到點A，結(jié)合圖形可知，當(dāng)使直線在面PAN的射影為∠PAN的角平分線時存在2條滿足條件，當(dāng)直線在面PAN的射影為∠PAM的角平分線時存在2條滿足條件，則一共有4條滿足條件．

解答：解：如圖，將BC₁平移至AD₁處，
∠AD₁C就是所求的角，又△AD₁C為正三角形．
∴∠AD₁C=60°．
即直線BC₁和CD₁成75°角．
過A作直線a∥BC₁，b∥CD₁，將異面直線BC₁和CD₁平移到點A，如圖．則∠PAN=60°，∠PAM=120°
而∠PAN的角平分線與a和b的所成角為30°，
而∠PAM的角平分線與a和b的所成角為60°
∵75°＞30°，75°＞60°
∴直線與a，b所成的角相等且等于75°有且只有4條，
使直線在面PAN的射影為∠PAN的角平分線，
和直線在面PAN的射影為∠PAM的角平分線，
故這樣的直線共有4條．
故選D．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．