Question

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上相異兩點，Q、P到y(tǒng)軸的距離的積為4且．
（1）求該拋物線的標準方程．
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由•=0，結(jié)合點P，Q在拋物線上，代入坐標后得到y(tǒng)₁y₂=-4p²，把縱坐標轉(zhuǎn)化為橫坐標后利用|x₁x₂|=4可求得p的值，則拋物線方程可求；
（2）連接PQ，PR分別叫x軸與點E，M，設(shè)出E和M的坐標，同時設(shè)出PQ，PR所在的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P，Q，R三點縱坐標的關(guān)系，再根據(jù)Q是T和R的中點找到E和M的坐標的關(guān)系，最終求出P和R縱坐標的乘積，用含有縱坐標的弦長公式寫出弦PR長度，代入縱坐標的乘積后利用單調(diào)性求最小值．
解答：解：（1）∵•=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
又P、Q在拋物線上，故y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
故得+y₁y₂=0，∴y₁y₂=-4p²，
∴，
又|x₁x₂|=4，故得4p²=4，p=1．
所以拋物線的方程為y²=2x；
（2）如圖，設(shè)直線PQ過點E（a，0）且方程為x=my+a
聯(lián)立方程組，消去x得y²-2my-2a=0
∴①
設(shè)直線PR與x軸交于點M（b，0），則可設(shè)直線PR方程為x=ny+b，并設(shè)R（x₃，y₃），
聯(lián)立方程組，消去x得y²-2ny-2b=0
∴②
由①、②可得
由題意，Q為線段RT的中點，∴y₃=2y₂，∴b=2a．
又由（Ⅰ）知，y₁y₂=-4，代入①，可得
-2a=-4，∴a=2．故b=4．
∴y₁y₃=-8
∴
=．
當n=0，即直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值．
點評：本題考查了拋物線的方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．屬難題．