Question

如圖，橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1(a＞b＞0)的右準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)M，AB為過焦點(diǎn)F的弦，且直線AB的傾斜角θ（θ≤90°）．
（Ⅰ）當(dāng)△ABM的面積最大時(shí)，求直線AB的方程．
（Ⅱ）（�。┰囉忙缺硎緗AF|；
（ⅱ）若|BF|=2|AF|，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)AB的方程為x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．將x=my+2代入橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系，可得|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，由于S_△ABM=

1

2

|FM| |y1-y2|=|y₁-y₂|，利用基本不等式即可得出此時(shí)的m，進(jìn)而得到直線AB的方程．
（II）（i）由（I）可得橢圓的右焦點(diǎn)F（2，0），離心率e=

c

a

=

2

2

．右準(zhǔn)線l：x=4．作AA₁⊥l于點(diǎn)A₁，則

|AF|

|AA1|

=e=

2

2

，可得|AF|=

2

2

|AA1|=

2

2

(|FM|-|AF|cosθ)=

2

-

2

2

|AF|cosθ，即可得出|AF|．
（ii）同理|BF|=

2

2 -cosθ

，由|BF|=2|AF|，即可解得cosθ即tanθ，及直線的方程．

解答：解：（I）設(shè)AB的方程為x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將x=my+2代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去x整理得（2+m²）y²+4my-4=0，△＞0．
∴y1+y2=

-4m

2+m2

，y1y2=

-4

2+m2

．
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -4m 2+m2 )2- -16 2+m2

=

4 2(1+m2)

2+m2

，
∴S_△ABM=

1

2

|FM| |y1-y2|=|y₁-y₂|=

4 2

1+m2 + 1 1+m2

≤

4 2

2

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線AB的方程為x=2．
（II）（i）由（I）可得橢圓的右焦點(diǎn)F（2，0），離心率e=

c

a

=

2

2

．右準(zhǔn)線l：x=4．
作AA₁⊥l于點(diǎn)A₁，則

|AF|

|AA1|

=e=

2

2

，
∴|AF|=

2

2

|AA1|=

2

2

(|FM|-|AF|cosθ)=

2

-

2

2

|AF|cosθ，
∴|AF|=

2

2 +cosθ

．
（ii）同理|BF|=

2

2 -cosθ

，
由|BF|=2|AF|，得到

2

2 -cosθ

=2×

2

2 +cosθ

，解得cosθ=

2

3

，tanθ=

7

3

．
∴直線AB的方程為：y=

7

3

(x-2)，化為

7

x-3y-2

7

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式、橢圓的第二定義、直線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．