Question

 

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠ACD=90°，△PAD為等邊三角形，且PA⊥AB．若AB =1，CD =2，AD =，分別取PC、PD的中點(diǎn)為M、N．

（1）證明ABMN是平面圖形并求截面ABMN的面積．

（2）求D到平面PBC的距離．

（3）求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵ MN是△PDC的一條中位線． ∴ MN    ，可知MN   AB且它們共面． ∴ ABMN為平面圖形且為平行四邊形． 又∵ PA⊥AB，∠BAD=90°． ∴ AB⊥平面PAD可知∠BAN=90°故ABMN為矩形． 由已知，得AB =1，． ∴S□ABMN =． （2）∵ AB⊥平面PAD，可知MN⊥平面PAD． ∴ MN⊥AN，又AN⊥PD．PDMN =N． ∴ AN⊥平面PDC，又BM∥AN． ∴ BM⊥平面PDC，又BM平面PBC． ∴ 平面PDC⊥平面PBC，交線為PC． 因此，在Rt△PDC中，斜邊PC上的高． 即點(diǎn)D到平面PBC的距離為． （3）∵ BM∥AN且BM平面PAD．∴ BM∥平面PAD． 又∵ 所求二面角的棱l（不畫出）是過BM的平面PBC與平面PAD的交線． ∴ BM∥l，MN∥l． ∵ AN⊥平面PDC（已證）可知PD⊥AN，PC⊥AN． ∴ PD⊥l，PC⊥l．∠CPO為求二面角的一個(gè)平面角． 在Rt△PDC中，sin∠CPD ==即為所求．