Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F(xiàn)分別為D₁C₁，B₁C₁上的點(diǎn)．且滿足

C1E

=λ

C1D1

，

C1F

=λ

C1B1

(0＜λ＜1)，
（1）若在AB上有一點(diǎn)P，使A₁C⊥平面PEF，求

|AP|

|AB|

的值．
（2）求此正方體在平面PEF內(nèi)射影的面積．

Answer 1

分析：（1）先證明A₁C⊥EF．建立空間直角坐標(biāo)系，則可求得如下點(diǎn)的坐標(biāo)：A₁，C，E，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m，0），則通過

A1C

•

PE

=0，求出m=1-λ，即可求出

|AP|

|AB|

的值．
（2）由（1）知說明A₁C⊥平面AB₁D₁且過△AB₁D₁的中心，A₁C⊥平面C₁BD且過△C₁BD的中心．正方體在平面EFP內(nèi)的射影相當(dāng)于正方體在平面C₁BD內(nèi)的射影，求出BD，求出正六邊形邊長，求出射影面積．

解答：解：（1）∵

C1E

=λ

C1D1

，

C1F

=λ

C1B1

，∴EF∥B₁D₁，A₁C在平面A₁B₁C₁D₁上的射影為A₁C₁，
∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴A₁C⊥B₁D₁，∴A₁C⊥EF．如圖建立空間直角坐
標(biāo)系，則可求得如下點(diǎn)的坐標(biāo)：A₁（1，0，1），C（0，1，0），E（0，1-λ，1），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m，0），則

A1C

=(-1，1，-1，)，

PE

=(-1，1-λ-m，1)，若A₁C⊥EP，則有

A1C

•

PE

=(-1，1，-1，)•(-1，1-λ-m，1)=1-λ-m=0，
∴m=1-λ，即

|AP|

|AB|

的值為1-λ．
（2）由（1）知A₁C⊥B₁D₁，同理A₁C⊥AB₁，即A₁C⊥平面AB₁D₁且過△AB₁D₁的中心，同理即A₁C⊥平面C₁BD且過△C₁BD的中心．于是正方體在平面EFP內(nèi)的射影相當(dāng)于正方體在平面C₁BD內(nèi)的射影，而正三角形AB₁D₁中心P在平面C₁BD內(nèi)的射影是正三角形C₁BD的中心Q，于是AB₁D₁在平面C₁BD內(nèi)的射影如圖所示，
于是正六邊形BA′D

B

′ 1

C1

D

′ 1

即為正方體在平面C₁BD的射影，BD=

2

，
故正六邊形邊長為

2

3

=

6

3

，故射影面積為6×

3

4

×(

6

3

)2=

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用，利用空間直角坐標(biāo)系向量法說明垂直的應(yīng)用，射影面積的求法，考查空間想象能力與計算能力．