如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），點M（x，y）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B（M為原點O時，A，B重合于O），當x=1-時，切線MA的斜率為-．
（I）求P的值；
（II）當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點為O）．
【答案】分析：（I）利用導數(shù)的幾何意義，先表示出切線方程，再由M在拋物線上及在直線上兩個前提下，得到相應(yīng)的方程，解出p值．
（II）由題意，可先設(shè)出A，B兩個端點的坐標及中點的坐標，再由中點坐標公式建立方程，直接求解出中點N的軌跡方程
解答：解：（I）因為拋物線C1：x2=4y上任意一點（x，y）的切線斜率為y′=，且切線MA的斜率為-，所以A點的坐標為（-1，），故切線MA的方程為y=-（x+1）+
因為點M（1-，y）在切線MA及拋物線C2上，于是
y=-（2-）+=-     ①
y=-=-          ②
由①②解得p=2
（II）設(shè)N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N為線段AB中點知x=  ③，y==    ④
切線MA，MB的方程為y=（x-x1）+，⑤；y=（x-x2）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交點M（x，y）的坐標滿足x=，y=
因為點M（x，y）在C2上，即x2=-4y，所以x1x2=-⑦
由③④⑦得x2=y，x≠0
當x1=x2時，A，B丙點重合于原點O，A，B中點N為O，坐標滿足x2=y
因此中點N的軌跡方程為x2=y
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，此類題運算較繁，解答的關(guān)鍵是合理引入變量，建立起相應(yīng)的方程，本題探索性強，屬于能力型題
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．平面上有點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓M，N相交，且直線l1被圓M截得的弦長與直線l2被圓N截得的弦長的比為
3
：1，試求所有滿足條件的點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1，已知點P（1，
3
），過點P作互相垂直且分別與圓M圓N相交的直線l1，l2，設(shè)l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，
s
t
是否為定值？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖過拋物線C1：x2=4y的對稱軸上一點P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，點Q是P關(guān)于原點的對稱點，以P，Q為焦點的橢圓為C2．
（1）求證：x1x2為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1，C2以及直線l有公共點，求C2的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
PB
，若
QP
⊥(
QA
-μ
QB
)，求證：λ=μ

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年遼寧省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），點M（x，y）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B（M為原點O時，A，B重合于O），當x=1-時，切線MA的斜率為-．
（I）求P的值；
（II）當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點為O）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年廣東省廣州市高考數(shù)學查漏補缺試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．已知點，過點P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2，設(shè)l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t．是否為定值？請說明理由．

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