Question

將一枚質地均勻正方體骰子（六個面分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6）先后拋擲兩次，向上一面的點數(shù)依次記為a和b，記函數(shù)f（x）=ax-blnx．
（1）若第一次拋擲骰子得到的數(shù)字是1，求再次拋擲骰子時，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（3，+∞）遞增的概率；
（2）求函數(shù)y=f（x）存在零點的概率．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,幾何概型

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）a=1時，f′(x)=

x-b

x

，得x＞3時f'（x）≥0恒成立，從而求出b≤3，即b=1，2，3；設第二次拋擲骰子時，得p(A)=

3

6

=

1

2

；
（2）通過求導，得到函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，從而求出f(x)min=f(

b

a

)=b(1-ln

b

a

)，得出1-ln

b

a

≤0，從而P(B)=

5

6×6

=

5

36

．

解答： 解：（1）a=1時，f′(x)=

x-b

x

，
f（x）在區(qū)間（3，+∞）遞增，
∴x＞3時f'（x）≥0恒成立，
需x＞3時b≤x恒成立，
所以b≤3，即b=1，2，3；
設第二次拋擲骰子時，
使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（3，+∞）遞增為事件A，
p(A)=

3

6

=

1

2

；
（2）∵f′(x)=

ax-b

x

，
∴f'（x）＞0時，x＞

b

a

，f'（x）＜0時，0＜x＜

b

a

；
函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

b

a

)遞減，在區(qū)間(

b

a

，+∞)遞增，
∴f(x)min=f(

b

a

)=b(1-ln

b

a

)，
∴b＞0，∴x＞0且x→0時ax-blnx→+∞，
所以若函數(shù)f（x）存在零點，需∴f（x）_min≤0，需1-ln

b

a

≤0，
所以

b

a

≥e，a=1時，b=3，4，5，6；a=2時，b=6；
設函數(shù)y=f（x）存在零點為事件B，
P(B)=

5

6×6

=

5

36

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，考查幾何概型問題，是一道中檔題．