Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率e=，短軸的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成面積為的三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點P（1，1）做兩條傾斜角分別為a₁，a₂的不同的直線l₁，l₂，分別交橢圓與A，B，C，D，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，求證：a₁+a₂=180°．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程組，解之得a，b，c的值，最后寫出橢圓的方程即可；
（2）設(shè)過點P（1，1）做兩條傾斜角分別為a₁，a₂的不同的直線l₁，l₂，的參數(shù)方程分別為：l₁：；l₂：．將直線l₁：的參數(shù)方程代入橢圓方程結(jié)合參數(shù)t的幾何意義得：|PA|•|PB|=-t₁t₂=-，同理得：|PC|•|PD|=-．最后利用|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，即可得到a₁+a₂=180°．
解答：解：（1）由題意得：
 解之得：
∴橢圓的方程為：．
（2）設(shè)過點P（1，1）做兩條傾斜角分別為a₁，a₂的不同的直線l₁，l₂，的參數(shù)方程分別為：
l₁：；l₂：．
將直線l₁：的參數(shù)方程代入橢圓方程得：
3（1+tcosa₁）²+4（1+tsina₁）²-12=0，
化簡整理得：（3cos²a₁+4sin²a₁）t²+（6cosa₁+8sina₁）t-5=0，
根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得：|PA|•|PB|=-t₁t₂=-，
同理得：|PC|•|PD|=-．
由于|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，故有：=，
∴cos²a₁=cos²a₂，sin²a₁=sin²a₂
∴a₁+a₂=180°．
點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的參數(shù)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．