Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=a，a_n+1=1+

1

an

我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列：1，2，

3

2

，

5

3

…；當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，得到有窮數(shù)列：-

1

2

，-1，0．
（Ⅰ）求當(dāng)a為何值時(shí)a₄=0；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=-1，b_n+1=

1

bn-1

（n∈N₊），求證a取數(shù)列{b_n}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{a_n}；
（Ⅲ）若

3

2

＜a_n＜2（n≥4），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）解法1：由設(shè)條件知a_n=

1

an+1-1

，由a₄=0，導(dǎo)出a₃=-1，進(jìn)而導(dǎo)出a₂=-

1

2

，由此可知a=a₁=-

2

3

．
解法2：由a₁=a，a_n+1=1+

1

an

，可以推導(dǎo)出a₄=

3a+2

a+1

0，由此可知a=-

2

3

．
（II）由b_n+1=

1

bn-1

，知b_n=

1

bn+1

+1，若a=b_n，則由題設(shè)條件能夠推出a_n=1+

1

an-1

=0所以數(shù)列{a_n}只能有n項(xiàng)為有窮數(shù)列．
（III）由題設(shè)條件可知

3 2 ＜1+ 1 an-1 ＜2 3 2 ＜an-1＜2

（n≥5），由此能夠推出a的取值范圍．

解答：解：（I）解法1：∵a_n+1=1+

1

an

，∴a_n=

1

an+1-1

，∵a₄=0，∴a₃=-1，a₂=-

1

2

，a=a₁=-

2

3

；
解法2：∵a₁=a，a_n+1=1+

1

an

，∴a₂=

a+1

a

．a(chǎn)₃=

2a+1

a+1

，a₄=

3a+2

a+1

，∵a₄=0，∴a=-

2

3

．
（II）∵b_n+1=

1

bn-1

，∴b_n=

1

bn+1

+1，
若a取數(shù)列{b_n}的一個(gè)數(shù)b_n，即a=b_n，則a₂=1+

1

a1

=1+

1

bn

=b_n-1，a₃=1+

1

a2

=1+

1

bn-1

=b_n-2，
∴a_n-1=b₁=-1，∴a_n=1+

1

an-1

=0
所以數(shù)列{a_n}只能有n項(xiàng)為有窮數(shù)列．
（III）解法一：因?yàn)?span id="2aoqt2j" class="MathJye">

3

2

＜a_n＜2（n≥4）?

3 2 ＜1+ 1 an-1 ＜2 3 2 ＜an-1＜2

（n≥5）?

1＜an-1＜2 3 2 ＜an-1＜2

?

3

2

＜a_n-1＜2（n≥5）
所以

3

2

＜a_n＜2（n≥4）?

3

2

＜a₄＜2?

3

2

＜

3a+2

2a+1

＜2?a＞0
這就是所求的取值范圍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，避免錯(cuò)誤．