（理）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均不為零，a1=1，a2=m，且對(duì)任意n∈N*，都有
a
2
n+1
=anan+2+c．
（1）設(shè)c=1，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求m；
（2）設(shè)c=1，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，求證：
an+1+an-1
a n
是一個(gè)常數(shù)；
（3）當(dāng)c=（m+1）2時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
分析：（1）由題設(shè)條件求出公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出an，an+1，an+2，根據(jù)已知條件能求出m．
（2）由題設(shè)條件先求出a3=m2-1，
a1+a3
a2
=m，猜想
an-1+an+1
an
=m，由此能夠證明
an+1+an-1
a n
是一個(gè)常數(shù)．
（3）先由已知條件求出
a1+a3
a2
=
m2+1-c
m
=-2，再類比猜想
an-1+an+1
an
=-2，由此能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）由題意得：d=a2-a1=m-1，
an=1+（n-1）（m-1），
an+1=1+n（m-1），
an+2=1+（n+1）（m-1）
∵
a
2
n+1
=anan+2+1，
∴[1+n（m-1）]2=[1+（n-1）（m-1）][1+（n+1）（m-1）]+1
解得m=2．
（2）法一：∵a1=1，a2=m，
a
2
n+1
=anan+2+c，c=1，
∴a3=m2-1，∴
a1+a3
a2
=m，
猜想
an-1+an+1
an
=m
欲證明
an-1+an+1
an
=m恒成立
只需要證明
an-1+an+1
an
=
an+an+2
an+1
恒成立
即要證明an+1（an-1+an+1）=an（an+an+2）恒成立
即要證明an+1an-1+an+12=an2+anan+2恒成立，
∵
a
2
n+1
=anan+2+1，
∴an+1an-1=an2-1，anan+2=an+12-1，
∵an+1an-1+an+12=an+1an-1+an+12=an2-1+an+12，
an2+anan+2=an2+an+12-1，
∴an+1an-1+an+12=an2+anan+2成立．
綜上所述：
an+1+an-1
a n
是一個(gè)常數(shù)．                                             
法二：∵a1=1，a2=m，
a
2
n+1
=anan+2+c，c=1，
∴a3=m2-1，∴
a1+a3
a2
=m，
猜想
an-1+an+1
an
=m，
a
2
n+1
=anan+2+1，an2=an-1an+1+1，
a
2
n+1
-
a
2
n
=anan+2-an-1an+1，
a
2
n+1
+an-1an+1=
a
2
n
+anan+2，
由于an≠0，上式兩邊同除以anan+1，
得
a
 
n+1
+an-1
an
=
a
 
n
+an+2
an+1
(n≥2)．
∴
a
 
n
+an+2
an+1
=
a
 
n-1
+an+1
an
=…=
a
 
1
+a3
a2
=
8
3
．
∴
an-1+an+1
an
=m是常數(shù)．
（3）∵a1=1，a2=m，
a
2
n+1
=anan+2+c，c=（m+1）2，
∴a3=-2m-1，
a1+a3
a2
=
m2+1-c
m
=-2，
類比猜想
an-1+an+1
an
=-2，
a
2
n+1
=anan+2+c，an2=an-1an+1+c，
a
2
n+1
-
a
2
n
=anan+2-an-1an+1，
a
2
n+1
+an-1an+1=
a
2
n
+anan+2，
由于an≠0，上式兩邊同除以anan+1，
得
a
 
n+1
+an-1
an
=
a
 
n
+an+2
an+1
(n≥2)．
∴
a
 
n
+an+2
an+1
=
a
 
n-1
+an+1
an
=…=
a
 
1
+a3
a2
=
8
3
．
∴
an-1+an+1
an
=-2是常數(shù)，
∴
an-1+an+1
an
=-2，
∴（an-1+an）+（an+1+an）=0，
∴（an-1+an）=-（an+1+an），
∴an+1+an=(-1)n-1(m+1)，
∴a1=1，a2=m，a3=-（2m+1），a4=（3m+2），
由此猜想an=(-1)n[(n-1)m+(n-2)]，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：顯然n=1時(shí)，成立，
假設(shè)n=k時(shí)，ak=(-1)k[(k-1)m+(k-2)]成立，
則n=k+1時(shí)，ak+1=(-1)k-1(m+1)-ak
=（-1）k-1（m+1）-（-1）k[（k-1）m+（k-2）]，
∴ak+1=(-1)k-1[(m+1)+(k-1)m+(k-2)]，
∴ak+1=(-1)k-1[km+(k-1)]
=（-1）k+1[km+（k-1）]，
∴對(duì)一切n∈N時(shí)，an=(-1)n[(n-1)m+(n-2)]成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)挖掘題設(shè)條件中的隱含條件，注意合理地進(jìn)行類比猜想．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1（n≥2），
（1）求證：數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)an．
（2）求{an}前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，Sn=1-an（n∈N*），
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，bn=（n+1）an，求Tn；
（3）設(shè)cn=
3an
(2-an)(1-an)
，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn，且Rn＜λ+
m
λ
(λ＞0，m＞0)恒成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=-2，a1+a2+a3=-12．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若b1=0，bn+1=7bn+6，n∈N*，求數(shù)列{an（bn+1）}的前n項(xiàng)和Tn的公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，an+1=
pan+n-1(n為奇數(shù))
-an-2n(n為偶數(shù))
．
（1）若數(shù)列{bn}滿足bn=a2n+a2n+1（n≥1），試求數(shù)列{bn}前3項(xiàng)的和T3；
（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=a2n，試判斷{cn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)p=
1
2
時(shí)，對(duì)任意n∈N*，不等式S2n+1≤log
1
2
(x2+3x)都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=-ban+1-
1
(1+b)n
其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且0＜b＜1，若
limSn
n→∞
存在，則
limSn=
n→∞
1
1
．

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