Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+1．
（1）已知函數(shù)f（x）在x=1時(shí)有極小值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=0，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用a與0大小比較，分類討論通過等號(hào)的符號(hào)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）利用f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為a的不等式，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2ax，
若函數(shù)f（x）在x=1時(shí)有極小值，
則f′（1）=1-2a=0，解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）f′（x）=x²-2ax，
當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0；
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，無遞減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2a）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（2a，0）．
（3）因?yàn)?nbsp;f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{3}$x³-ax²≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
所以a≤$\frac{1}{3}$x在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
∵x≥3，∴$\frac{1}{3}$x≥1，
∴a≤1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的對稱性，導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，考查分類討論轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．