(2009•湖北模擬)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a,P為棱A1B上的動點(diǎn).
(Ⅰ)試確定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點(diǎn)C1到面PAC的距離.
分析:(Ⅰ)以A為原點(diǎn),AB為x軸,過A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,利用
CP
AB
=0
可求A1P:PB=1.
(Ⅱ)當(dāng)A1P:PB=2:3時(shí),求得P點(diǎn)的坐標(biāo)是(
2a
5
,0,
3a
5
)
.分別求出平面PAC、ABC的一個(gè)法向量.再用公式可求
(Ⅲ)設(shè)C1到面PAC的距離為d,利用d=
|
n
C1C
|
|
n
|
=
a
2
,可求.
解答:解:(Ⅰ)以A為原點(diǎn),AB為x軸,過A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖所示,
設(shè)P(x,0,z),則B(a,0,0)、A1(0,0,a)、C(
a
2
,
3
a
2
,0)


(Ⅰ)由
CP
AB
=0
(x-
a
2
,-
3
a
2
,z)•(a,0,0)=0

(x-
a
2
)•a=0
,∴x=
1
2
a
,即P為A1B的中點(diǎn),
也即A1P:PB=1時(shí),PC⊥AB.…4′
(Ⅱ)當(dāng)A1P:PB=2:3時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)是(
2a
5
,0,
3a
5
)
.取
m
=(3,-
3
,-2)

m
AP
=(3,-
3
,-2)•(
2a
5
,0,
3a
5
)=0
,
m
AC
=(3,-
3
,-2)•(
a
2
,
3
a
2
,0)=0

m
是平面PAC的一個(gè)法向量.
又平面ABC的一個(gè)法向量為
n
=(0,0,1)

cos?
m
,
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
1
2
,∴二面角P-AC-B的大小是60°.…8′
(Ⅲ)設(shè)C1到面PAC的距離為d,則d=
|
n
C1C
|
|
n
|
=
a
2
,∴C1到面PAC的距離為
1
2
a
.…12′
點(diǎn)評:本題以正三棱柱為載體,考查空間向量的運(yùn)用,考查線線位置關(guān)系,考查二面角,考查點(diǎn)到面距離.
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(2009•湖北模擬)半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn),其中點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
2
,B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
3
,則球心到平面ABC的距離為( 。

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(2009•湖北模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
1
2
an+n(n為奇數(shù))
an-2n(n為偶數(shù))
且bn=a2n-2(n∈N*
(1)求a2,a3,a4;
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(3)若Cn=-nbn,Sn為為數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和,求Sn-2.

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(2009•湖北模擬)已知命題p:|x|<2,命題q:x2-x-2<0,則p是q的( 。

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(2009•湖北模擬)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對于x∈R都有f(x-6)=f(x)+f(3)成立,且f(0)=-2,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0.則給出下列命題:
①f(2010)=-2;
②函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸為x=-6;
③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為增函數(shù);
④方程f(x)=0在[-9,9]上有4個(gè)根.
其中正確命題的序號是
①②④
①②④
.(請將你認(rèn)為是真命題的序號都填上)

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(2009•湖北模擬)若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但定義域不同,則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”,例如解析式為y=2x2+1,值域?yàn)閧9}的“孿生函數(shù)”三個(gè):
(1)y=2x2+1,x∈{-2};(2)y=2x2+1,x∈{2};(3)y=2x2+1,x∈{-2,2}.
那么函數(shù)解析式為y=2x2+1,值域?yàn)閧1,5}的“孿生函數(shù)”共有(  )

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