Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ） 過(guò)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由拋物線的幾何性質(zhì)及題設(shè)條件焦點(diǎn)F（0，1）可直接求得p，確定出拋物線的開(kāi)口方向，寫(xiě)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）由題意，可A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+1，將直線方程與（I）中所求得方程聯(lián)立，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式用所引入的參數(shù)表示出|MN|，根據(jù)所得的形式作出判斷，即可求得最小值．
解答：解：（I）由題意可設(shè)拋物線C的方程為x²=2py（p＞0）則=1，解得p=2，故拋物線C的方程為x²=4y
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+1
由消去y，整理得x²-4kx-4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，從而有|x₁-x₂|==4
由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x_M===，
同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x_N=
所以|MN|=|x_M-x_N|=|-|=8||=
令4k-3=t，t不為0，則k=
當(dāng)t＞0時(shí)，|MN|=2＞2
當(dāng)t＜0時(shí)，|MN|=2=2≥
綜上所述，當(dāng)t=-時(shí)，|MN|的最小值是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想，將問(wèn)題恰當(dāng)?shù)幕瘹w可以大大降低題目的難度，如本題最后求最值時(shí)引入變量t，就起到了簡(jiǎn)化計(jì)算的作用