Question

1．拋物線C₁：y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右焦點(diǎn)的連線交C₁于第一象限的點(diǎn)M，若C₁在點(diǎn)M處切線平行于C₂的一條漸近線，則p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出函數(shù)y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）在x取直線與拋物線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．

解答 解：由拋物線C₁：y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）得x²=2py（p＞0），
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，$\frac{p}{2}$）．
由$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2．
所以雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0）．
則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為$\frac{y-0}{\frac{p}{2}-0}$=$\frac{x-2}{0-2}$，
即$\frac{p}{2}$x+2y-p=0①．
設(shè)該直線交拋物線于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），則C₁在點(diǎn)M處的切線的斜率為$\frac{{x}_{0}}{p}$．
由題意可知$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得x₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，代入M點(diǎn)得M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，$\frac{p}{6}$）
把M點(diǎn)代入①得：$\frac{\sqrt{3}}{3}{p}^{2}+\frac{2}{3}p-2p=0$．
解得p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．