Question

如圖，點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，其中A（-6，0），F(xiàn)（4，0），點P在橢圓上且位于x軸上方，

PA

•

PF

=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）求點P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若過點F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于D，E兩點，求△ADE的面積．

Answer 1

分析：（I）確定a，c的值，即可求出橢圓的離心率，及橢圓的方程；
（II）利用點P在橢圓上且位于x軸上方，

PA

•

PF

=0，即可求出P的坐標(biāo)；
（III）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積公式，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意知a=6，c=4，∴e=

c

a

=

4

6

=

2

3

…（1分）
∴b²=a²-c²=36-16=20…（2分）
∴橢圓方程為

x2

36

+

y2

20

=1…（3分）
（Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)是（x，y），則

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)…（4分）
由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

…（5分）
則2x²+9x-18=0，x=

3

2

或x=-6…（7分）
由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5

2

3

…（8分）
所以點P的坐標(biāo)是(

3

2

，

5

2

3

)…（9分）
（Ⅲ）∵l的傾斜角為45°，∴l(xiāng)的斜率k=1
∴l(xiāng)：y=x-4⇒x=y+4，
若設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）…（10分）
聯(lián)立：

5x2+9y2-5×36=0 x=y+4

⇒7y2+20y-50=0，…（11分）
則|y1-y2|=

(20)2+4×7×50

7

=

30 2

7

…（12分）
顯然S△ADE=S△AFD+S△AFE=

1

2

|AF|×|y1-y2|=

1

2

×10×

30 2

7

=

150 2

7

∴△ADE的面積為

150 2

7

．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．