Question

某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣(mài)出b千克．若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n（n∈N^*）千元時(shí)比廣告費(fèi)為（n-1）千元時(shí)多賣(mài)出千克．
（Ⅰ）當(dāng)廣告費(fèi)分別為1千元和2千元時(shí)，用b表示銷(xiāo)售量s；
（Ⅱ）試寫(xiě)出銷(xiāo)售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）當(dāng)a=50，b=200時(shí)，要使廠家獲利最大，銷(xiāo)售量s和廣告費(fèi)n分別應(yīng)為多少？

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)廣告費(fèi)為1千元時(shí)，銷(xiāo)售量s₁=b+=
當(dāng)廣告費(fèi)為2千元時(shí)，銷(xiāo)售量s₂=b++=；
（Ⅱ）設(shè)s₀表示廣告費(fèi)為0千元時(shí)的銷(xiāo)售量，即s₀=b
由題意得s₁-s₀=，s₂-s₁=，…，s_n-s_n-1=
以上n個(gè)等式相加得s_n-s₀=
∴s_n=2b-；
（Ⅲ）當(dāng)a=50，b=200時(shí)，設(shè)獲利為T(mén)_n，則有T_n=as_n-1000n=10000（2-）-1000n
要使廠家獲利最大，則
∴10000（2-）-1000n≥10000（2-）-1000（n+1），且10000（2-）-1000n≥10000（2-）-1000（n-1）
∴2＜n＜4，∴n=3
當(dāng)n=3時(shí)，s₃=375，即廠家應(yīng)生產(chǎn)350千克產(chǎn)品，做3千元的廣告，能獲利最大．
分析：（Ⅰ）利用廣告費(fèi)為n（n∈N^*）千元時(shí)比廣告費(fèi)為（n-1）千元時(shí)多賣(mài)出千克，可求當(dāng)廣告費(fèi)分別為1千元和2千元時(shí)的銷(xiāo)售量s；
（Ⅱ）利用疊加法，可求銷(xiāo)售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）設(shè)獲利為T(mén)_n，則要使廠家獲利最大，，由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的疊加法求解通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（�。╉�(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．