Question

已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點A（1，3），與直線x+2y-7=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線l：ax-y-2=0（a＞0）與圓C相交于A、B兩點，求實數a的取值范圍；
（3）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（-2，4），若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設圓心坐標為（t，t+1），半徑為r，則圓的方程可得，根據題意把點A代入圓方程，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離等于半徑聯立方程求得t和r，則圓的方程可求得．
（2）把直線方程代入圓的方程，消去y整理利用判別式大于0求得a的范圍．
（3）設符合條件的實數a存在，由于a≠0，則直線l的斜率為-

1

a

，則l的方程可得，把圓心代入求得a，根據（2）中的范圍可知a不符合題意，進而可判斷出不存在實數a，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

解答：解：（1）解：設圓心坐標為（t，t+1），半徑為r，則圓的方程為（x-t）²+（y-t-1）²=r²
依題意可知

(1-t)2+(2-t) 2=r2 |t+2t+2|-7 5 =r

求得t=0，r=

5

∴圓的方程為x²+（y-1）²=5；

（2）把直線ax-y-2=0即y=ax-2代入圓的方程，消去y整理，得
（a²+1）x²-6ax+4=0．由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
故△=36a²-16（a²+1）＞0．即5a²-4＞0，由于a＞0，解得a＞

2 5

5

．
所以實數a的取值范圍是（

2 5

5

，+∞）．

（3）設符合條件的實數a存在，由于a≠0，則直線l的斜率為-

1

a

，
l的方程為y=-

1

a

（x+2）+4，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（0，1）必在l上．
所以0+a+2-4a=0，解得a=

2

3

．
由于

2

3

∉(

2 5

5

，+∞)，
故不存在實數a，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

點評：本題主要考查了直線與的方程的綜合運用．考查了考生綜合分析問題和解決問題的能力．