Question

給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=x²-a^x-3只有一個零點(diǎn)；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；
④對于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，則當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0．
其中正確命題的序號是

①③④

．（填所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)全稱命題的否定方法，求出原命題的否定，可得①正確；
根據(jù)0＜a＜1，則函數(shù)y=x²-3與y=a^x的圖象有兩個交點(diǎn)，可判斷函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，進(jìn)而判斷②錯誤；
根據(jù)lga+lgb=lg（a+b），根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式可得a+b≥4，進(jìn)而判斷③正確；
根據(jù)f（-x）=f（x）可得函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而由當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷④正確；

解答：解：命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①正確；
若0＜a＜1，則函數(shù)y=x²-3與y=a^x的圖象有兩個交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）=x²-a^x-3有兩個零點(diǎn)，故②錯誤；
若lga+lgb=lg（a+b），則a＞0，b＞0，且a+b=a•b，則a+b≥4，故a+b的最小值為4，即③正確；
對于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），則函數(shù)為偶函數(shù)，又由當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，故函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，則函數(shù)在（-∞，0）上為減函數(shù)，故當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，故④正確；
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了全稱命題的否定，函數(shù)的零點(diǎn)，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，難度不大，為基礎(chǔ)題型．