Question

(理)某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作.規(guī)定:至少正確完成其中2題便可通過(guò).已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都為,且每題正確完成與否互不影響.

(1)分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望;

(2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.

(文)為豐富學(xué)生的課余生活,學(xué)校決定在高一年級(jí)開(kāi)設(shè)系列選修課,并開(kāi)放了三間多媒體教室,且各門(mén)選修課是否使用多媒體教室互不影響.

(1)若周一下午開(kāi)設(shè)的A、B、C三門(mén)選修課使用多媒體教室的概率分別為、、,求這三門(mén)選修課中恰有兩門(mén)課使用多媒體教室的概率;

(2)若周二下午開(kāi)設(shè)的五門(mén)選修課使用多媒體教室的概率均為,求多媒體教室不夠用的概率.

Answer 1

解：(理)(1)設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為ξ、η,則ξ的取值分別為1、2、3;η取值分別為0、1、2、3.

∵P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為

ξ	1	2	3
P

Eξ=1×+2×+3×=2.

P(η=0)=×[C⁰₃×(1-)³+C⁰₃×(1-)³+…+C⁰₃×(1-)³]=C⁰₃×(1-)³=,

同理,P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=.

方法一:考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為

Η	0	1	2	3
P

Eη=0×+1×+2×+3×=2.

方法二:同方法一得考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為

Η	0	1	2	3
P

∴考生乙做對(duì)題數(shù)η服從二項(xiàng)分布.因此,Eη=np=3×=2.

(2)∵Dξ=(2-1)²×+(2-2)²×+(2-3)²×=,Dη=(2-0)²×+(2-1)²×+(2-2)²×+(2-3)²×=(或Dη=npq=3××=).

∴Dξ＜Dη.∵P(ξ≥2)=+=0.8,P(η≥2)=+≈0.74,∴P(ξ≥2)＞P(η≥2).

從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查,兩人水平相當(dāng);從做對(duì)題數(shù)的方差考查,甲較穩(wěn)定;從至少完成2題的概率考查,甲獲得通過(guò)的可能性大.因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng).

(文)解:(1)記A、B、C三門(mén)選修課使用多媒體教室為事件A、B、C,恰好有兩門(mén)選修課使用多媒體教室可以分成A·B·、A··C、·B·C.

根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式,得P₁=××(1)+×(1-)×+(1-)××

=.

答:恰有兩門(mén)選修課使用多媒體教室的概率為.

(2)記某選修課需要使用多媒體教室為事件D,多媒體教室不夠使用,表明至少有四門(mén)選修課需使用多媒體教室,由于各門(mén)選修課之間是否使用多媒體教室互不影響,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為五次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件D至少發(fā)生4次.

恰有4門(mén)選修課需要使用多媒體教室的概率為×()⁴×(1-)=,

恰有5門(mén)選修課需要使用多媒體教室的概率為×()⁵=.故P₂=.

答:多媒體教室不夠用的概率為.