Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，有一個(gè)頂點(diǎn)為A（-4，0），

2a2

c

=16．
（1）求橢圓C的方程：
（2）過點(diǎn)B（-1，0）作直線l與橢圓C交于E、F兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=4，

2a2

c

=16，由此能求出橢圓E的方程．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-1，0），k=0；當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線l方程為y=m（x+1），由方程組

y=m(x+1) x2 16 + y2 12 =1

，得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-48=0，由此能求出-

1

8

≤k≤

1

8

，且k≠0從而能求出直線MA的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)闄E圓有一個(gè)頂點(diǎn)為A（-4，0），故長軸a=4，
又

2a2

c

=16，從而得：a=4，c=2，b²=12，
∴橢圓C的方程

x2

16

+

y2

12

=1． （3分）
（2）依題意，直線l過點(diǎn)B（-1，0）且斜率不為零．
（i）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-1，0），
此時(shí)，k=0．…（4分）
（ii）當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)，
設(shè)直線l方程為y=m（x+1），（m≠0），…（5分）
由方程組

y=m(x+1) x2 16 + y2 12 =1

，消去y，并整理得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-48=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），M（x₀，y₀），又有A（-4，0），
∴x1+x2=-

8m2

4m2+3

，…（7分）
∴x0=

x1+x2

2

=-

4m2

4m2+3

，∴y0=m(x0+1)=

3m

4m2+3

，
∴k=k_AM=

y0

x0+4

=

m

4(m2+1)

=

1

4(m+ 1 m )

，m≠0，…（9分）
∵|m+

1

m

|=|m|+

1

|m|

≥2，∴0＜|k|≤

1

8

，
∴-

1

8

≤k≤

1

8

，且k≠0．…（11分）
綜合（i）、（ii）知直線MA的斜率k的取值范圍是：[-

1

8

，

1

8

]．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．