Question

已知f（x）=2cos（ωx+φ）+m，恒有f(x+

π

3

)=f(-x)成立，且f(

π

6

)=-1，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）

A．±1

B．±3

C．-1或3

D．-3或1

Answer 1

分析：由f（x+

π

3

）=f（-x）⇒f（x）=f（

π

3

-x）?f（x）=2cos（ωx+φ）+m的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，從而有f（

π

6

）取得最值，結(jié)合題意，可求得實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）+m，恒有f（x+

π

3

）=f（-x），用-x替換x得：
f（x）=f（

π

3

-x），
∴f（x）=2cos（ωx+φ）+m的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，
∴f（x）_max=f（

π

6

）=2+m或f（x）_min=f（

π

6

）=-2+m，
∵f（

π

6

）=-1，
∴2+m=-1或-2+m=-1，
∴m=-3或m=1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，得到f（x）=2cos（ωx+φ）+m的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查分析、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．