Question

函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1），（0＜a＜1），
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明在定義域內(nèi)f（x）是增函數(shù)；
（3）解方程f（2x）=log_a（a^x+1）

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求定義域．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．（3）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解對數(shù)方程．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則a^x-1＞0，即a^x＞1，因為0＜a＜1，所以x＜0．
即函數(shù)的定義域為（-∞，0）．
（2）任設(shè)x₁＜x₂＜0，
則f(x2)-f(x1)=loga

ax2-1

ax1-1

，
因為0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，
所以0＜ax2-1＜ax1-1，
即0＜

ax2-1

ax1-1

＜1，所以f(x2)-f(x1)=loga

ax2-1

ax1-1

＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)f（x）是增函數(shù)．
（3）由f（2x）=log_a（a^x+1）得loga(ax+1)=loga(a2x-1)，
即a^x+1=a^2x-1，
所以a^2x-a^x-2=0，解得a^x=2，x=log_a2，或者a^x=-1不成立舍去．
所以方程 的根為x=log_a2．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力．