Question

已知向量

m

=（2cos²x，

3

），

n

=（1，sin2x），函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓的半徑，且f（C）=3，c=1，sinAsinB=

2 3

4R2

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由題意結(jié)合數(shù)量積的定義可得函數(shù)f（x），由周期公式和整體代入可得答案；
（2）由（1）結(jié)合f（C）=3可得角C的值，然后又余弦定理和正弦定理可得關(guān)于a，b的方程，聯(lián)立可解，再由a＞b可做取舍．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)
=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴f（x）的最小正周期為π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

）（k∈Z）       
（2）由（1）知f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3∴sin(2C+

π

6

)=1
∵C是三角形內(nèi)角，∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，
∴2C+

π

6

=

π

2

，即：C=

π

6

由余弦定理可得：cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

即：a2+b2-1=

3

ab①
由正弦定理可得：sinAsinB=

2 3

4R2

可得：ab=2

3

 ②，聯(lián)立①②得：a2+

12

a2

=7
解之得：a²=3或4，∴a=

3

或2  
所以當(dāng)a=

3

時，b=2； 當(dāng)a=2，b=

3

，∵a＞b，∴a=2，b=

3

點評：本題為向量和三角函數(shù)以及解三角形的結(jié)合，熟練利用公式進行運算是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．