Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且右頂點為A（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）的直線l與橢圓G交于A，B兩點，當以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓C的離心率e=

c

a

=

3

2

，右頂點為A（2，0），能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx=2．由方程組

y=kx+2 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．由方程有兩個不等的實數(shù)根，解得|k|＞

3

2

．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

．因為以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，所以x₁x₂+y₁y₂=0，由此能夠求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C的離心率e=

c

a

=

3

2

，右頂點為A（2，0），
∴a=2，c=

3

，b=1．
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx=2．
由方程組

y=kx+2 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．①…（6分）
因為方程①有兩個不等的實數(shù)根，
所以△=（16k）²-4（4k²+1）×12＞0，
解得|k|＞

3

2

．…（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

．②
因為以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，
所以 

OA

⊥

OB

，

OA

•

OB

=0，即有x₁x₂+y₁y₂=0．…（9分）
所以x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
所以（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．③
將②代入③得

12(k2+1)

4k2+1

-

2×16k2

4k2+1

+4=0，
所以12（k²+1）-2×16k²+4（4k²+1）=0，
解得k=±2．…（13分）
滿足|k|＞

3

2

，
所求直線l的方程為y=±2x+2．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線方程的求法，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，仔細解答，注意解題能力的培養(yǎng)．