12.已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),它到三邊的距離分別為x、y、z,求x2+y2+z2的最小值.

分析 依題意得$\frac{1}{2}×2$(x+y+z)=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$,即x+y+z=$\sqrt{3}$.再利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:依題意得$\frac{1}{2}×2$(x+y+z)=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$,即x+y+z=$\sqrt{3}$.
∴3=(x+y+z)2≤(x2+y2+z2)(1+1+1),
∴x2+y2+z2≥1當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1等號(hào)成立,
∴x2+y2+z2的最小值為1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了柯西不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=log2$\frac{1+x}{1-x}$.
(Ⅰ)判斷f(x)奇偶性并證明;
(Ⅱ)用單調(diào)性定義證明函數(shù)g(x)=$\frac{1+x}{1-x}$在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)單調(diào)遞增,并判斷f(x)=log2$\frac{1+x}{1-x}$在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

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3.已知$|\overrightarrow a|=1$,$|\overrightarrow b|=2$,$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°,則$\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影為2.

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20.集合A={y|y=x-2},B={y|y=$\sqrt{x}$},則x∈A是x∈B的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.不充分不必要條件

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7.向量$\overrightarrow{a}$=(2,3),$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{a}$,|$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$,則$\overrightarrow$等于( 。
A.(-2,3)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(-3,2)或(3,-2)

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17.(文)如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,EF=CE,AB=$\sqrt{2}$EF.
(Ⅰ)求證:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求證:CF⊥平面BDE.

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4.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=13,an+1=2Sn+1,n∈N*,則符合Sn>a5的最小的n值為( 。
A.8B.7C.6D.5

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1.已知α,β為銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角,x∈R,f(x)=($\frac{cosα}{sinβ}$)|x-2|+($\frac{cosβ}{sinα}$)|x-2|,則關(guān)于x的不等式f(2x-1)-f(x+1)>0的解集為(  )
A.(-∞,$\frac{4}{3}$)∪(2,+∞)B.($\frac{4}{3}$,2)C.(-∞,-$\frac{4}{3}$)∪(2,+∞)D.(-$\frac{4}{3}$,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n-1,則a1+a17=(  )
A.31B.29C.30D.398

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