Question

1．已知點F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點，若橢圓上存在點P使得$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=2|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$，則此橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 由題意可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4a}{3}$，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\frac{2a}{3}$，當P與兩焦點F₁，F(xiàn)₂能構(gòu)成三角形時，由余弦定理可得ac的不等式，可得離心率的范圍；當P與兩焦點F₁，F(xiàn)₂共線時，可e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$；綜合可得．

解答 解：由題意設(shè)$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=2|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$=2x，則2x+x=2a，
解得x=$\frac{2a}{3}$，故|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4a}{3}$，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\frac{2a}{3}$，
當P與兩焦點F₁，F(xiàn)₂能構(gòu)成三角形時，由余弦定理可得
4c²=$\frac{16{a}^{2}}{9}$+$\frac{4{a}^{2}}{9}$-2×$\frac{4a}{3}$×$\frac{2a}{3}$×cos∠F₁PF₂，
由cos∠F₁PF₂∈（-1，1）可得4c²=$\frac{20{a}^{2}}{9}$-$\frac{16{a}^{2}}{9}$cos∠F₁PF₂∈（$\frac{4{a}^{2}}{9}$，$\frac{36{a}^{2}}{9}$），
即$\frac{4{a}^{2}}{9}$＜4c²＜$\frac{36{a}^{2}}{9}$，∴$\frac{1}{9}$＜$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜1，即$\frac{1}{9}$＜e²＜1，∴$\frac{1}{3}$＜e＜1；
當P與兩焦點F₁，F(xiàn)₂共線時，可得a+c=2（a-c），解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$；
綜上可得此橢圓的離心率的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，1）
故選：D

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及余弦定理和不等式的性質(zhì)以及分類討論的思想，屬中檔題．