Question

已知向量

a

=（2，sinθ）與

b

=（1，cosθ）互相平行，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=

10

10

，0＜φ＜

π

2

，求cosφ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和同角的平方關(guān)系，解方程即可得到；
（2）運(yùn)用角的變換φ=θ-（θ-φ）和兩角差的余弦公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（2，sinθ）與

b

=（1，cosθ）互相平行，
∴sinθ=2cosθ，由sin²θ+cos²θ=1，
由θ∈（0，

π

2

），則sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

；
（2）∵sin（θ-φ）=

10

10

，0＜φ＜

π

2

，
又θ∈（0，

π

2

），則-

π

2

＜θ-φ＜

π

2

，
則cos（θ-φ）=

1-sin2(θ-φ)

=

1- 1 10

=

3 10

10

，
則有cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）
=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的共線的坐標(biāo)表示，考查同角的平方關(guān)系和兩角差的余弦公式，考查角的變換的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．