Question

（2013•河?xùn)|區(qū)二模）已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=6，點(diǎn)An(an，

an+1

)在拋物線y²=x+1上；數(shù)列{b_n}中，點(diǎn)B_n（n，b_n）在過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=

an，(n為奇數(shù)) bn，(n為偶數(shù))

，問是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由；（文理共答）
（Ⅲ）對任意正整數(shù)n，不等式

an+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

an

n-2+an

≤0成立，求正數(shù)a的取值范圍．（只理科答）

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點(diǎn)An(an，

an+1

)代入拋物線y²=x+1，得a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n；過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線方程為y=2x+1，把點(diǎn)B_n（n，b_n）代入能求出b_n．
（Ⅱ）由f（n）=

an，(n為奇數(shù)) bn，(n為偶數(shù))

=

n+5，n為奇數(shù) 2n+1，n為偶數(shù)

，利用題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在唯一的k=4符合條件．
（Ⅲ）由

an+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

an

n-2 +an

≤0，知a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，設(shè)f（n+1）=

1

2n+5

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)(1+

1

bn+1

)，利用構(gòu)造法能求出正數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）將點(diǎn)An(an，

an+1

)代入拋物線y²=x+1，
得a_n+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n+5，
∵過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線方程為y=2x+1，
點(diǎn)B_n（n，b_n）在過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線上，
∴b_n=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=

an，(n為奇數(shù)) bn，(n為偶數(shù))

=

n+5，n為奇數(shù) 2n+1，n為偶數(shù)

，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k+27為奇數(shù)，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k+27為偶數(shù)，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=

35

2

（舍去）
綜上所述，存在唯一的k=4符合條件．
（Ⅲ）由

an+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

an

n-2 +an

≤0，
即a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，
設(shè)f（n+1）=

1

2n+5

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)(1+

1

bn+1

)，
∴

f(n+1)

f(n)

=

2n+3

2n+5

•(1+

1

bn+1

)
=

2n+3

2n+5

•

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 • 2n+3

=

4n2+16n+16

4n2+16n+15

＞1，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）遞增，
∴f（n）_min=f（1）=

1

5

•

4

3

=

4 5

15

，
∴0＜a≤

4 5

15

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．