Question

已知拋物線C：y²=-x與直線l：y=k（x+1）相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求

OA

•

OB

的值；
（2）當(dāng)△AOB的面積為

10

時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，分別消去x，y運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到所求值；
（2）直線l：y=k（x+1）恒過點(diǎn)（-1，0），則△AOB的面積為S=

1

2

|y₁-y₂|，運(yùn)用（1）的結(jié)論，計(jì)算即可得到k．

解答： 解：（1）將直線方程代入拋物線方程，消去y，得，
k²x²+（2k²+1）x+k²=0，（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁•x₂=1，
又聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去x，得，
ky²+y-k=0，則y₁y₂=-1，y₁+y₂=-

1

k

，
則有

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-1=0；
（2）直線l：y=k（x+1）恒過點(diǎn)（-1，0），
則△AOB的面積為S=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

1 k2 +4

=

10

，解得，k=±

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程和運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和面積公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．