Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+2x²-4，g（x）=ax²-8（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值．
（2）若對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有f（x）-g（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)為0的根，判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．
（2）轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，求h(x)=x2+

4

x2

+2≥6.在x∈（0，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）f'（x）=4x³+4x=4x（x²+1），令f'（x）=0，解得：x=0．
∴當(dāng)x＞0時(shí)f'（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)f'（x）＜0．
∴當(dāng)x=0時(shí)f（x）取得極小值為-4．
（2）由f（x）-g（x）≥0，得a≤x2+

4

x2

+2，
∵h(x)=x2+

4

x2

+2≥6.
∴a≤h（x）_min=6．

點(diǎn)評(píng)：本題是道綜合性很強(qiáng)的好題．考查了利用導(dǎo)函數(shù)求極值，恒成立問(wèn)題以及基本不等式的應(yīng)用．