Question

已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=g（x）是奇函數(shù)，它們的定義域為[-8，8]且它們在[0，8]上的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集為

 

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Answer 1

分析：由已知條件，結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可以判斷出函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在區(qū)間[-8，8]中的符號，進而得到不等式f（x）•g（x）＜0的解集．

解答：解：由圖象可得在區(qū)間（0，8）上，g（x）＜0恒成立，
又∵y=g（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
∴在區(qū)間（-8，0）上，g（x）＞0恒成立，
又∵在區(qū)間（0，2）上，f（x）＜0，在區(qū)間（2，8）上，f（x）＞0，
∵y=f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，
∴在區(qū)間（-8，-2）上，f（x）＞0，在區(qū)間（-2，0）上，f（x）＜0，
∵不等式f（x）•g（x）＜0，
∴f（x）與g（x）異號，
∴當x∈（-2，0）上，g（x）＞0，f（x）＜0，
當x∈（2，8）上，g（x）＜0，f（x）＞0，
∴不等式f（x）•g（x）＜0的解集為（-2，0）∪（2，8）．
故答案為：（-2，0）∪（2，8）．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用求解不等式的問題，綜合考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．對于偶函數(shù)，要注意運用偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同．考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的運用．屬于中檔題．