Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cos（θ+

π

3

）．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是

x=-1+tcos 2π 3 y=2+tsin 2π 3

（t為參數(shù)），設(shè)點(diǎn)P（-1，2）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值|PM|•|PN|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線C的極坐標(biāo)方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程；把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為普通方程．
（Ⅱ）把線l的參數(shù)方程代入圓的方程化簡可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0，再根據(jù)參數(shù)的意義可得|PM|•|PN|=|t₁•t₂|，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cos（θ+

π

3

），即 ρ²=ρcosθ-

3

ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程為 x2+y2-x+

3

y=0，即 (x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=1，
表示以（

1

2

，-

3

2

）為圓心，半徑等于1的圓．
把直線l的參數(shù)方程是

x=-1+tcos 2π 3 y=2+tsin 2π 3

（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為普通方程為 y+

3

x-2+

3

=0．
（Ⅱ）把線l的參數(shù)方程是

x=-1+tcos 2π 3 y=2+tsin 2π 3

代入圓的方程化簡可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0．
利用韋達(dá)定理可得 t₁•t₂=6+2

3

，
再根據(jù)參數(shù)的意義可得|PM|•|PN|=|t₁•t₂|=6+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題．