Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁∈（0，1），a_n+1=ln（2-a_n）+a_n，n∈N^*，證明0＜a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．
∴在區(qū)間（0，1）上恒成立，…（2分）
∴，又在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)
∴a≥g（1）=1即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1．…（3分）
（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1．當(dāng)n=1時(shí)，a₁∈（0，1）成立，…（4分）
假設(shè)n=k時(shí)，0＜a_k＜1成立，…（5分）
當(dāng)n=k+1時(shí)，由（1）知a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+x在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)
∴a_k+1=f（a_k）=ln（2-a_k）+a_k∴0＜ln2=f（0）＜f（a_k）＜f（1）=1，…（7分）
即0＜a_k+1＜1成立，∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，0＜a_n＜1成立．…（8分）
下證a_n＜a_n+1．∵0＜a_n＜1，∴a_n+1-a_n=ln（2-a_n）＞ln1=0．…（9分）
∴a_n＜a_n+1．綜上0＜a_n＜a_n+1＜1．…（10分）
分析：（1）通過(guò)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）先利用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1．然后利用作差法以及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則證明a_n＜a_n+1即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題的方法，考查邏輯推理與計(jì)算能力．