Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx-cosωx（ω＞0）的圖象與直線y=2的相鄰兩個交點之間的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(

α

2

)=

2

3

，求cos(2α-

π

3

)的值．

Answer 1

考點：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）運用兩角差的正弦公式，化簡f（x），求得最大值為2，再由正弦函數(shù)的周期公式和單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡整理，再由二倍角的余弦公式，計算即可得到所求值．

解答： 解：（Ⅰ）因為f(x)=

3

sinωx-cosωx(ω＞0，x∈R)，
所以f(x)=2sin(ωx-

π

6

)．
所以f（x）_max=2．
因為函數(shù)f（x）與直線y=2的相鄰兩個交點之間距離為π，
所以T=π，
由

2π

ω

=π，解得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(

α

2

)=2sin(α-

π

6

)，因為f(

α

2

)=

2

3

，
即有sin(α-

π

6

)=

1

3

．
則cos(2α-

π

3

)=cos2(α-

π

6

)=1-2sin2(α-

π

6

)=1-2×

1

9

=

7

9

．

點評：本題考查兩角差的正弦公式和二倍角公式的運用，主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性）等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．