Question

已知函數(shù)f （x）=-x²-x⁴-x⁶，x₁，x₂，x₃∈R且x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0，則f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值是（f′（x）是f （x）的導(dǎo)數(shù)）

1. A.
   一定小于零
2. B.
   等于零
3. C.
   一定大于零
4. D.
   正負(fù)均有可能

Answer 1

C
分析：利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），可得導(dǎo)函數(shù)為減函數(shù)，且為奇函數(shù)，設(shè)出x₁＜x₂＜x₃，由已知的x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0可得x₁，x₂都為負(fù)數(shù)，x₃正負(fù)不確定，故討論：當(dāng)x₃小于等于0時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為減函數(shù)且為奇函數(shù)可得f′（x₃）大于等于0，同時(shí)可得f′（x₁）＞f′（x₂）＞f′（x₃），即可得到f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值大于0；當(dāng)x₃大于0時(shí)，-x₃小于0，可得f′（-x₃）大于0，同時(shí)可得f′（x₁）＞f′（-x₃），f′（x₂）＞f′（-x₃），根據(jù)不等式的性質(zhì)及奇函數(shù)的性質(zhì)可得f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值大于0，綜上，f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值大于0．
解答：求導(dǎo)得：f′（x）=-2x-4x³-6x⁵，
可得f′（x）在R上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
由x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0可得：x₁＜0，x₂＜0，
若x₃≤0，可得f′（x₃）≥f′（0）=0，即f′（x₁）＞f′（x₂）＞f′（x₃）≥0，
則有f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）＞0；
若x₃＞0，-x₃＜0，則有f′（-x₃）＞f′（0）=0，
且f′（x₁）＞f′（-x₃），f′（x₂）＞f′（-x₃），
∴f′（x₁）+f′（x₂）＞2f′（-x₃），
即f′（x₁）＞f′（x₂）＞f′（x₃）＞f′（-x₃）＞0，
綜上，f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）＞0．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，奇函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)增減性的運(yùn)用，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是高考中常考的題型．