Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且滿足f（xy）=f（x）+f（y），且0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）證明：f（x）在定義域上是減函數(shù)；
（3）若f（2）=1，求滿足f（x）≤2-f（x-3）的x的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1代入式子f（xy）=f（x）+f（y），可得f（1）=0；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據(jù)f（xy）=f（x）+f（y）得，f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），由條件和函數(shù)單調(diào)性的定義，f（x）在定義域上是減函數(shù)；
（3）由f（2）=1求出f（4）=2，根據(jù)（2）的結(jié)論和等式，將不等式f（x）≤2-f（x-3）轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，注意定義域，解不等式即可得到答案．

解答： 解：（1）由題意，令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）；
可得f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
證明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）得，f（xy）-f（x）=f（y），
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
令x=x₂，y=

x1

x2

代入上式得，f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
因?yàn)?＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，且0＜

x1

x2

＜1，
所以f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)；
解：（3）令x=y=2，結(jié)合f（2）=1可得：
f（4）=f（2）+f（2）=2，
則f（x）≤2-f（x-3）化為f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），
因?yàn)閒（x）在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，
所以

x(x-3)＞0 x(x-3)≥4

，解得x≥4或x≤-1，
故x的范圍是{x|x≥4或x≤-1}．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是抽象及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，利用賦值法函數(shù)的值，其中抽象函數(shù)中“湊”的思想是解答此類問題的關(guān)鍵，注意函數(shù)的定義域．