Question

已知函數(shù)f（x）=，
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當(dāng)x≥1時，不等式f（x）≥恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證[（n+1）！]²＞（n+1）·e^n-2（n∈N*）。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，x＞0，則，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，
所以；
（Ⅱ）不等式，
即為，
記，
所以，
 令，
∵x≥1，
∴，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴，
從而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，
∴，
所以k≤2。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，
即，
令x=n（n+1），
則，
所以，
，
，
………… ……
，
疊加得：
，
則，
所以。