Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）設(shè)當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上任一點(diǎn)P處的切線的斜線率為k，若k≥-1，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）+a（x²-3x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可將題轉(zhuǎn)化為求使得f'（x）=3x²-2ax≥-1，x∈（0，1）恒成立的a的取值范圍，進(jìn)而利用分離參數(shù)即可求得結(jié)果；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）+a（x²-3x）=x³-3ax，x∈[-1，1]的導(dǎo)數(shù)，對方程g′（x）=3x²-3a=3（x²-a）=0有無實(shí)根，和有根，根是否在區(qū)間[-1，1]內(nèi)進(jìn)行討論，求得函數(shù)的極值，再與f（-1）、f（1）比較大小，確定函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）∴k=f'（x）=3x²-2ax，x∈（0，1）．
由k≥-1，得3x²-2ax+1≥0，即a≤

3x2+1

2x

=

1

2

(3x+

1

x

)恒成立
∴a≤

1

2

（3x+

1

x

）_min
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，3x+

1

x

≥2

3x• 1 x

=2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x

3

3

時(shí)取等號．
∴（3x+

1

x

）_min=

3

．故a的取值范圍是（-∞，

3

]．
（2）設(shè)g（x）=f（x）+a（x²-3x）=x³-3ax，x∈[-1，1]則
g′（x）=3x²-3a=3（x²-a）．
①當(dāng)a≥1時(shí)，∴g′（x）≤0．從而g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)．
∴g（x）的最大值為g（-1）=3a-1．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g′（x）=3（x+

a

）（x-

a

）．
由g′（x）＞0得，x＞

a

或x＜-

a

：由g′（x）＜0得，-

a

＜x＜

a

．
∴g（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]上增函數(shù)，在[-

a

，

a

]上減函數(shù)．
∴g（x）的極大值為g（-

a

）=2a

a

．
由g（-

a

）-g（1）=2a

a

+3a-1=（

a

+1）²•（2

a

-1）知
當(dāng)2

a

-1＜0，即0≤a＜

1

4

時(shí)，g（-

a

）＜g（1）
∴g（x）_max=g（1）=1-3a．
當(dāng)2

a

-1≥0，即

1

4

＜a＜1時(shí)，g（-

a

）≥g（1）
∴g（x）_max=g（-

a

）=2a

a

．
③當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）≥0，從而g（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
∴g（x）_max=g（1）=1-3a
綜上分析，g（x）_max=

3a-1，(a≥1) 2a a ，( 1 4 ≤a＜1) 1-3a，(a＜ 1 4 )

點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，對方程g′（x）═0有無實(shí)根，和有根，根是否在區(qū)間[-1，1]內(nèi)進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，增加了題目的難度，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬難題．