Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax（a∈R）．
（1）若a=3，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的結(jié)論下，設(shè)g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²+lnx-3x，求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離出a，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范圍．
（3）通過原函數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過對對稱軸與定義域位置關(guān)系的討論，分情況求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²+lnx-3x，
f′（x）=2x+

1

x

-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

f'（x）＜0，即：2x²-3x+1＜0，得

1

2

＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

2

，1）
（2）∵f′（x）=2x+

1

x

-a=

2x2-ax+1

x

（x＞0），若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，則2x²-ax+1≥0在（0，1）上恒成立．
即a≤2x+

1

x

在（0，1）上恒成立，而2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

．（（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時(shí)取等號(hào)）
∴a≤2

2

．
（3）∵x∈[0，ln3]，∴e^x∈[1，3]
①當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）=e^2x+e^x-a=（ex+

1

2

）²-a-

1

4

，在e^x=1處取得最小值，∴g（x）_min=2-a
②當(dāng)1＜a≤2

2

時(shí)，若e^x≥a，g（x）=e^2x+e^x-a=（ex+

1

2

）²-a-

1

4

，e^x∈[a，3]，在e^x=a處取得最小值，∴g（x）_min=a²，
若e^x_＜a，g（x）=e^2x-e^x+a=（ex-

1

2

）²+a-

1

4

，e^x∈[1，a]，在e^x=1處取得最小值，∴g（x）_min=a，
又1＜a≤2

2

，∴a²＞a，故此時(shí)g（x）_min=a，
綜合①②g（x）_min=

2-a，     a≤1 a，         1＜a≤2 2

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系．解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍問題，常求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于（或小于等于）0恒成立；解決不等式恒成立問題常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；遇到含絕對值符號(hào)的函數(shù)一般將絕對值符號(hào)化去，寫成分段函數(shù)形式求解．