Question

已知函數(shù)f（x）=kx-

k

x

-2lnx，其中k∈R；
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）若函數(shù)g（x）=

2e

x

，且k＞0，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使f（x）＞g（x）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閒（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以f'（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足f'（x）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為求kx²-2x+k≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，然后利用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使f（x）＞g（x）成立，等價(jià)于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，只需f（x）-g（x）的最大值大于0即可．

解答：解：（1）f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，
因?yàn)閒（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f'（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足f'（x）≥0恒成立，
即kx²-2x+k≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
亦即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

對(duì)x∈(0，+∞)恒成立，∴k≥(

2

x+ 1 x

)max即可
又x∈(0，+∞)時(shí)，

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤

2

2

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

，即x=1時(shí)取等號(hào)，∴使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）．
（2）在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使f（x）＞g（x）成立，等價(jià)于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=kx-

k

x

-2lnx-

2e

x

，則F′(x)=k+

k

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

kx2+k-2x+2e

x2

＞0，
∴F（x）為[1，e]上的增函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（e），
依題意需F(e)=ke-

k

e

-4＞0，解得k＞

4e

e2-1

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值的應(yīng)用．基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，很好的考查了學(xué)生的計(jì)算能力．